By Otto Forster

Der zweite Band beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei der Darstellung wird die Theorie durch viele konkrete Beispiele erläutert, insbesondere solche, die für die Physik appropriate sind.

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Um diese Annahme zum Widerspruch zu f¨uhren, konstruieren wir durch vollst¨andige Induktion eine Folge von abgeschlossenen Teilquadern Q0 ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ . . I. Differentialrechnung im Rn 28 mit folgenden Eigenschaften: i) Qm kann nicht durch endlich viele Uiκ u¨ berdeckt werden. ii) diam(Qm ) = 2−m diam(Q). Wir setzen Q0 := Q. Sei Qm schon konstruiert, Qm = I1 × I2 × . . × In , wobei Iν ⊂ R abgeschlossene Intervalle sind. ,sn ) Qm 1 (s ) (s ) (s ) = I1 1 × I2 2 × . . × In n . 1). ,s ) einen der Quader Qm 1 n , der nicht von endlich vielen Uiκ u¨ berdeckt werden kann.

Nach dem Mittelwertsatz (An. 1, § 16, Corollar 1 zu Satz 2) gibt es ein ξ ∈ R mit |ξ| |x|, so dass Fy (x) − Fy (0) = Fy (ξ)x. Nun ist Fy (ξ) = D1 f (ξ, y) −D1 f (ξ, 0). Der Mittelwertsatz, angewendet auf die Funktion y → D1 f (ξ, y) liefert ein η mit |η| |y|, so dass D1 f (ξ, y) − D1 f (ξ, 0) = D2 D1 f (ξ, η)y. Insgesamt ergibt sich also f (x, y) − f (x, 0) − f (0, y) + f (0, 0) = D2 D1 f (ξ, η)xy. (1) ¨ Wir wiederholen jetzt diese Uberlegungen unter Vertauschung der Rollen von x und y. Zun¨achst wenden wir den Mittelwertsatz auf die Funktion Gx (y) := f (x, y) − f (0, y) an und erhalten ˜ Gx (y) − Gx (0) = Gx (η)y ˜ mit |η| |y|.

Seien X ,Y metrische R¨aume und f : X → Y eine stetige Abbildung. Ist K ⊂ X kompakt, so ist auch f (K) ⊂ Y kompakt. ¨ Beweis. Sei (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung von f (K). Nach § 2, Satz 11, ist S Vi := f −1 (Ui ) offen in X und es gilt K ⊂ i∈I Vi . Da K kompakt ist, gibt es endlich viele Indizes i1 , . . , ik ∈ I, so dass K ⊂ Vi1 ∪ . . ∪Vik . Daraus folgt f (K) ⊂ Ui1 ∪ . . d. 4) Insbesondere folgt aus Satz 6: Sind zwei metrische R¨aume X ,Y hom¨oomorph, und ist einer der beiden R¨aume kompakt, so auch der andere.

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